Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ como uma equação.

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ .

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $3^{2 y}$ por $1$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $- 4$ por $2$ .

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

Etapa 3.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Etapa 3.5

Expanda $\ln (3^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ por $2 \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ por $2 \ln (3)$ .

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 3.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 3.6.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 3^{2 x}$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.3

Fatore $2$ de $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.3.4.4

Divida $3^{2 x} + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $3^{2 x} + 2 - 2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.4.2

Some $3^{2 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

Etapa 5.2.5

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

Etapa 5.2.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Etapa 5.3.3.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Etapa 5.3.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Etapa 5.3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique $2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

Etapa 5.3.3.4.2

Simplifique $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 4}{2}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

Etapa 5.3.3.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ é o inverso de $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$