Álgebra Exemplos

$x^{2} + y^{2} \leq 16$ $x^{2} - y > 2$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$y^{2} \leq 16 - x^{2}$

Etapa 1.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Simplifique $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = x$ .

$| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.4

Escreva $| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$y \geq 0$

Etapa 1.4.2

Na parte em que $y$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.4.3

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e a intersecção com $y \geq 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1

Simplifique $(4 + x) (4 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1.1

Expanda $(4 + x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.1.2.3

Some $16$ e $0$ .

$16 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 16$

Etapa 1.4.3.1.2.3

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.3.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Etapa 1.4.3.1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Etapa 1.4.3.1.2.5

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.5.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Etapa 1.4.3.1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.5.2.1

Simplifique $\sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.5.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.4.3.1.2.5.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 4 |$

Etapa 1.4.3.1.2.5.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$| x | \leq 4$

Etapa 1.4.3.1.2.6

Escreva $| x | \leq 4$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.6.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.4.3.1.2.6.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 4$

Etapa 1.4.3.1.2.6.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.4.3.1.2.6.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 4$

Etapa 1.4.3.1.2.6.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.4.3.1.2.7

Encontre a intersecção de $x \leq 4$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Etapa 1.4.3.1.2.8

Resolva $- x \leq 4$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.8.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.8.1.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Etapa 1.4.3.1.2.8.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 4$ e $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Etapa 1.4.3.1.2.9

Encontre a união das soluções.

$- 4 \leq x \leq 4$

Etapa 1.4.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 4, 4]$

Etapa 1.4.3.2

Encontre a intersecção de $y \geq 0$ e $[- 4, 4]$ .

$0 \leq y \leq 4$

Etapa 1.4.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$y < 0$

Etapa 1.4.5

Na parte em que $y$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.4.6

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e a intersecção com $y < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1

Simplifique $(4 + x) (4 - x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1.1

Expanda $(4 + x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.1.2.3

Some $16$ e $0$ .

$16 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.2

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 16$

Etapa 1.4.6.1.2.3

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 16$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.3.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Etapa 1.4.6.1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Etapa 1.4.6.1.2.5

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.5.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Etapa 1.4.6.1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.5.2.1

Simplifique $\sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.5.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.4.6.1.2.5.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 4 |$

Etapa 1.4.6.1.2.5.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$| x | \leq 4$

Etapa 1.4.6.1.2.6

Escreva $| x | \leq 4$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.6.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.4.6.1.2.6.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 4$

Etapa 1.4.6.1.2.6.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.4.6.1.2.6.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 4$

Etapa 1.4.6.1.2.6.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.4.6.1.2.7

Encontre a intersecção de $x \leq 4$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Etapa 1.4.6.1.2.8

Resolva $- x \leq 4$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.8.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1.2.8.1.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Etapa 1.4.6.1.2.8.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 4$ e $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Etapa 1.4.6.1.2.9

Encontre a união das soluções.

$- 4 \leq x \leq 4$

Etapa 1.4.6.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 4, 4]$

Etapa 1.4.6.2

Encontre a intersecção de $y < 0$ e $[- 4, 4]$ .

$- 4 \leq y < 0$

Etapa 1.4.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & 0 \leq y \leq 4 \\ - y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & - 4 \leq y < 0 \end{cases}$

Etapa 1.5

Encontre a intersecção de $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e $0 \leq y \leq 4$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Etapa 1.6

Resolva $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ quando $- 4 \leq y < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Divida cada termo em $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Divida cada termo em $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Etapa 1.6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Etapa 1.6.1.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Etapa 1.6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.6.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ como $- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Etapa 1.6.2

Encontre a intersecção de $y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e $- 4 \leq y < 0$ .

Nenhuma solução

Etapa 1.7

Encontre a união das soluções.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Etapa 2

Crie um gráfico de $x^{2} - y > 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$- y > 2 - x^{2}$

Etapa 2.1.2

Divida cada termo em $- y > 2 - x^{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida cada termo em $- y > 2 - x^{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$y < - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y < - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y < - 2 + x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a inclinação e a intersecção com o eixo y da linha limítrofe.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.2.1.2

Reordene $- 2$ e $x^{2}$ .

$y < x^{2} - 2$

Etapa 2.2.2

A equação não é linear, então uma inclinação constante não existe.

Não linear

Etapa 2.3

Represente uma linha tracejada em um gráfico e, depois, sombreie a área abaixo da linha limítrofe, pois $y$ é menor do que $- 2 + x^{2}$ .

$y < - 2 + x^{2}$

Etapa 3

Plote cada gráfico no mesmo sistema de coordenadas.

$x^{2} + y^{2} \leq 16$

$x^{2} - y > 2$

Etapa 4