Álgebra Exemplos

$2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \log (2 x + 2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\log (16) + 2 \log (x - 2)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $2 \log (x - 2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16) + \log ({(x - 2)}^{2})$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (16 {(x - 2)}^{2})$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 {(x - 2)}^{2}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $16 {(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 ((x - 2) (x - 2))$

Etapa 4.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Etapa 4.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Etapa 4.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} + 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 16 \cdot 4$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $16$ por $4$ .

${(2 x + 2)}^{2} = 16 x^{2} - 64 x + 64$

Etapa 4.2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = {(2 x + 2)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique ${(2 x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva ${(2 x + 2)}^{2}$ como $(2 x + 2) (2 x + 2)$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = (2 x + 2) (2 x + 2)$

Etapa 4.3.2

Expanda $(2 x + 2) (2 x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2)$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2)$

Etapa 4.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.3.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Etapa 4.3.3.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$16 x^{2} - 64 x + 64 = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} = 8 x + 4$

Etapa 4.4.2

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$16 x^{2} - 64 x + 64 - 4 x^{2} - 8 x = 4$

Etapa 4.4.3

Subtraia $4 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 64 x + 64 - 8 x = 4$

Etapa 4.4.4

Subtraia $8 x$ de $- 64 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 = 4$

Etapa 4.5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} - 72 x + 64 - 4 = 0$

Etapa 4.6

Subtraia $4$ de $64$ .

$12 x^{2} - 72 x + 60 = 0$

Etapa 4.7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.7.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 72 x + 60$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 60 = 0$

Etapa 4.7.1.2

Fatore $12$ de $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 60 = 0$

Etapa 4.7.1.3

Fatore $12$ de $60$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Etapa 4.7.1.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5 = 0$

Etapa 4.7.1.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 5$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Etapa 4.7.2

Fatore.

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Etapa 4.7.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 4.7.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 4.7.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 4.8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.9

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.9.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.9.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.10

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.10.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.10.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.11

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $2 \log (2 x + 2) = \log (16) + 2 \log (x - 2)$ verdadeira.

$x = 5$