Álgebra Exemplos

$3 \sin (t) = 2 \cos^{2} (t)$

Etapa 1

Subtraia $2 \cos^{2} (t)$ dos dois lados da equação.

$3 \sin (t) - 2 \cos^{2} (t) = 0$

Etapa 2

Substitua $- 2 \cos^{2} (t)$ por $- 2 (1 - \sin^{2} (t))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 \sin (t) - 2 (1 - \sin^{2} (t)) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \sin (t) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (t)) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 \sin (t) - 2 - 2 (- \sin^{2} (t)) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$3 \sin (t) - 2 + 2 \sin^{2} (t) = 0$

Etapa 4

Reordene o polinômio.

$2 \sin^{2} (t) + 3 \sin (t) - 2 = 0$

Etapa 5

Substitua $u$ por $\sin (t)$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Etapa 6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Etapa 6.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Etapa 6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 8

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 8.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 11

Substitua $\sin (t)$ por $u$ .

$\sin (t) = \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $t$ .

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

$\sin (t) = - 2$

Etapa 13

Resolva $t$ em $\sin (t) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Etapa 13.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - \frac{π}{6}$

Etapa 13.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\sin (t)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $t$ em $\sin (t) = - 2$ .

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Etapa 14.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$