Álgebra Exemplos

$\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1

Simplifique $\frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{8})}^{x} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1^{x}}{8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.3

Combine.

$\frac{1 \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.4

Multiplique $1$ por $1^{x}$ .

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Etapa 1.4.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$\frac{1^{1} \cdot 1^{x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1^{1 + x}}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{16 \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 8^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.6.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.6.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4} \cdot 2^{3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq {(\frac{1}{4})}^{x}$

Etapa 2

Simplifique ${(\frac{1}{4})}^{x}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1^{x}}{4^{x}}$

Etapa 2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} \leq \frac{1}{4^{x}}$

Etapa 3

Subtraia $\frac{1}{4^{x}}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} - \frac{1}{4^{x}} \leq 0$

Etapa 4

Mova $- \frac{1}{4^{x}}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$\frac{1}{2^{4 + 3 x}} = \frac{1}{4^{x}}$

Etapa 5

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 6

Reescreva $\ln (\frac{1}{2^{4 + 3 x}})$ como $\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x})$ .

$\ln (1) - \ln (2^{4 + 3 x}) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 7

Expanda $\ln (2^{4 + 3 x})$ movendo $4 + 3 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (1) - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 8

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 - ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 9

Subtraia $(4 + 3 x) \ln (2)$ de $0$ .

$- ((4 + 3 x) \ln (2)) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 10

Remova os parênteses.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (\frac{1}{4^{x}})$

Etapa 11

Reescreva $\ln (\frac{1}{4^{x}})$ como $\ln (1) - \ln (4^{x})$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - \ln (4^{x})$

Etapa 12

Expanda $\ln (4^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = \ln (1) - (x \ln (4))$

Etapa 13

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = 0 - (x \ln (4))$

Etapa 14

Subtraia $x \ln (4)$ de $0$ .

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - (x \ln (4))$

Etapa 15

Remova os parênteses.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 16.1

Simplifique $- (4 + 3 x) \ln (2)$ .

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Etapa 16.1.1

Reescreva.

$0 + 0 - (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.1.2

Simplifique somando os zeros.

$- (4 + 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.1.4

Multiplique.

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Etapa 16.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(- 4 - (3 x)) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(- 4 - 3 x) \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) = - x \ln (4)$

Etapa 16.2

Some $x \ln (4)$ aos dois lados da equação.

$- 4 \ln (2) - 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 0$

Etapa 16.3

Some $4 \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$- 3 x \ln (2) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Etapa 16.4

Fatore $x$ de $- 3 x \ln (2) + x \ln (4)$ .

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Etapa 16.4.1

Fatore $x$ de $- 3 x \ln (2)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x \ln (4) = 4 \ln (2)$

Etapa 16.4.2

Fatore $x$ de $x \ln (4)$ .

$x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4)) = 4 \ln (2)$

Etapa 16.4.3

Fatore $x$ de $x (- 3 \ln (2)) + x (\ln (4))$ .

$x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$

Etapa 16.5

Divida cada termo em $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 16.5.1

Divida cada termo em $x (- 3 \ln (2) + \ln (4)) = 4 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Etapa 16.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 16.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 \ln (2) + \ln (4)$ .

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Etapa 16.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- 3 \ln (2) + \ln (4))}{- 3 \ln (2) + \ln (4)} = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Etapa 16.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 3 \ln (2) + \ln (4)}$

Etapa 16.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.5.3.1

Fatore $- 1$ de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) + \ln (4)}$

Etapa 16.5.3.2

Fatore $- 1$ de $\ln (4)$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))}$

Etapa 16.5.3.3

Fatore $- 1$ de $- (3 \ln (2)) - 1 (- \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Etapa 16.5.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 16.5.3.4.1

Reescreva $- (3 \ln (2) - \ln (4))$ como $- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))$ .

$x = \frac{4 \ln (2)}{- 1 (3 \ln (2) - \ln (4))}$

Etapa 16.5.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \geq - \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}$

Notação de intervalo:

$[- \frac{4 \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (4)}, \infty)$

Etapa 19