Álgebra Exemplos

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1

Multiplique $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ por $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1} \cdot \frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$

Etapa 2

Combine frações.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$ por $\frac{2 \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{(2 \sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} + 1)}$

Etapa 2.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 1}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Etapa 2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Etapa 2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x^{1} - 1}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Etapa 3

Expanda $(\sqrt{x} + 3) (2 \sqrt{x} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1) + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x} + 1)}{4 x - 1}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 4.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique.

$\frac{2 x + \sqrt{x} \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 3 (2 \sqrt{x}) + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3 \cdot 1}{4 x - 1}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Etapa 4.2

Some $\sqrt{x}$ e $6 \sqrt{x}$ .

$\frac{2 x + 7 \sqrt{x} + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.2

Reescreva $x$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 x^{\frac{1}{2}} + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.3

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 u + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 5.4.1.1

Fatore $7$ de $7 u$ .

$\frac{2 u^{2} + 7 (u) + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva $7$ como $1$ mais $6$

$\frac{2 u^{2} + (1 + 6) u + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 u^{2} + 1 u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$\frac{2 u^{2} + u + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 u^{2} + u) + 6 u + 3}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{u (2 u + 1) + 3 (2 u + 1)}{4 x - 1}$

Etapa 5.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$\frac{(2 u + 1) (u + 3)}{4 x - 1}$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 3)}{4 x - 1}$