Álgebra Exemplos

${(10 x^{2} + 11 x)}^{2} - 15 (10 x^{2} + 11 x) - 54$

Etapa 1

Deixe $u = 10 x^{2} + 11 x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $10 x^{2} + 11 x$ .

$u^{2} - 15 u - 54$

Etapa 2

Fatore $u^{2} - 15 u - 54$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 54$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 18, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 18) (u + 3)$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 x^{2} + 11 x$ .

$(10 x^{2} + 11 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 10 \cdot - 18 = - 180$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $11$ de $11 x$ .

$(10 x^{2} + 11 (x) - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4.1.2

Reescreva $11$ como $- 9$ mais $20$

$(10 x^{2} + (- 9 + 20) x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(10 x^{2} - 9 x + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$((10 x^{2} - 9 x) + 20 x - 18) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x (10 x - 9) + 2 (10 x - 9)) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $10 x - 9$ .

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 x + 3)$

Etapa 5

Fatore.

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Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 10 \cdot 3 = 30$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $11$ de $11 x$ .

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 11 (x) + 3)$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $11$ como $5$ mais $6$

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + (5 + 6) x + 3)$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(10 x - 9) (x + 2) (10 x^{2} + 5 x + 6 x + 3)$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(10 x - 9) (x + 2) ((10 x^{2} + 5 x) + 6 x + 3)$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(10 x - 9) (x + 2) (5 x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1))$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(10 x - 9) (x + 2) ((2 x + 1) (5 x + 3))$

Etapa 5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(10 x - 9) (x + 2) (2 x + 1) (5 x + 3)$