Álgebra Exemplos

$\frac{2 x}{x^{2} - 49} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 7$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2 x}{(x + 7) (x - 7)}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3}{(x - 4) (x - 7)} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{(x - 4) (x - 7)}$ por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 7) (x - 4)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x + 7) (x - 7) (x - 4)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x - 4) (x - 7) (x + 7)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x - 4) (x - 7) (x + 7)$ .

$\frac{2 x (x - 4)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)} - \frac{3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (x - 4) - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 (x + 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 3 \cdot 7}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 3$ por $7$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.6

Subtraia $3 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 21 = - 42$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 6.7.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 (x) - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7.1.2

Reescreva $- 11$ como $3$ mais $- 14$

$\frac{2 x^{2} + (3 - 14) x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} + 3 x) - 14 x - 21}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x + 3) - 7 (2 x + 3)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 6.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 3) (x - 7)}{(x + 7) (x - 4) (x - 7)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x + 3}{(x + 7) (x - 4)}$