Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ .

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} - x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 20$ mais $21$

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

Etapa 1.2.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 21 x - 20$ .

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Fatore $x - 1$ de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Fatore $x - 1$ de $(- 21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

Etapa 1.2.2.3.3

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ .

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1

Reescreva $x^{3} - 21 x - 20$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.2.2.4.1.1

Fatore $x^{3} - 21 x - 20$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.4.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.4.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 1.2.2.4.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.4.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.3.3

Multiplique $- 21$ por $- 1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.3.4

Some $- 1$ e $21$ .

$20 - 20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.3.5

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 1.2.2.4.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5

Divida $x^{3} - 21 x - 20$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.2.2.4.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 20 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

Etapa 1.2.2.4.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x - 20$

Etapa 1.2.2.4.1.1.6

Escreva $x^{3} - 21 x - 20$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Etapa 1.2.2.4.1.2

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.4.1.2.1

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 1.2.2.4.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Etapa 1.2.2.4.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Etapa 1.2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.5

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.6

Simplifique ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ .

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Etapa 2.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.1.5

Multiplique $- 21$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Etapa 2.2.6.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 20$

Etapa 2.2.6.2.4

Some $0$ e $20$ .

$y = 20$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 20)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 20)$

Etapa 4