Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{1}{27})$ como $\ln (1) - \ln (27)$ .

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (27)$ como $\ln (3^{3})$ .

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 6

Expanda $\ln (3^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 8

Subtraia $3 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 9

Reescreva $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ como $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 10

Expanda $\ln (9^{3 x + 8})$ movendo $3 x + 8$ para fora do logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Etapa 11

Expanda $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Etapa 12

Reescreva $\ln (\frac{1}{81})$ como $\ln (1) - \ln (81)$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Etapa 13

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Etapa 14

Reescreva $\ln (81)$ como $\ln (3^{4})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Etapa 15

Expanda $\ln (3^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Etapa 16

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Etapa 17

Subtraia $4 \ln (3)$ de $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 18.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 18.1.1

Simplifique $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

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Etapa 18.1.1.1

Simplifique $- 3 \ln (3)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.1.1.3

Reordene os fatores em $x^{2} (- \ln (27))$ .

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 18.2.1

Simplifique $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

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Etapa 18.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2.1.1.2

Simplifique $3 \ln (9)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2.1.1.3

Simplifique $8 \ln (9)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1.1.4.1

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2.1.1.4.2

Eleve $9$ à potência de $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Etapa 18.2.1.1.5

Simplifique $- 4 \ln (3)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Etapa 18.2.1.1.6

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Etapa 18.2.1.2

Reordene os fatores em $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Etapa 18.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Etapa 18.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 18.5

Substitua os valores $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ e $c = - \ln (43046721)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.6.1

Aplique a regra do produto a $- \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.3

Multiplique $\ln^{2} (729)$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.8

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.6.9

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Etapa 18.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Etapa 19

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

Forma decimal:

$x = 8, - 2$