Álgebra Exemplos

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\sqrt{3} \tan (x) \cot (x) + \sqrt{3} \tan (x) - \cot (x) - 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sqrt{3} \tan (x) (\cot (x) + 1) - (\cot (x) + 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\cot (x) + 1$ .

$(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\cot (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $\cot (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cot (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cot (x) = - 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

O valor exato de $arccot (- 1)$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.2.4

A função da cotangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Some $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Etapa 3.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ é positivo e coterminal com $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\cot (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

O período da função $\cot (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sqrt{3} \tan (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sqrt{3} \tan (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{3} \tan (x) = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \tan (x) = 1$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 4.2.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 4.2.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.2.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 4.2.2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6

Simplifique $π + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 4.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 4.2.6.3.2

Some $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\cot (x) + 1) (\sqrt{3} \tan (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$