Álgebra Exemplos

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Fatore $5$ de $10 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $5$ de $10 x$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Fatore $5$ de $5$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Fatore $5$ de $5 (2 x) + 5 (1)$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

Eleve $\sqrt{x + 1}$ à potência de $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5

Some $1$ e $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6

Reescreva ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

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Etapa 5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6.5

Simplifique.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Reescreva $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Etapa 8

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Etapa 9

Simplifique $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Etapa 9.3

Avalie o expoente.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Etapa 9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Etapa 9.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Etapa 10

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Etapa 11

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Etapa 12

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 13.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ como ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.1

Simplifique ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 13.2.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 13.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.1.3.2

Multiplique $5$ por $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.2

Expanda $(10 x + 5) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 13.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 13.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.3.1.2

Multiplique $10$ por $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.3.2

Some $10 x$ e $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.2.1.4

Simplifique.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Etapa 13.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Simplifique ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1.1

Reescreva ${(3 + 3 x)}^{2}$ como $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Etapa 13.3.1.2

Expanda $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Etapa 13.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Etapa 13.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Etapa 13.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 13.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1.3.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Etapa 13.3.1.3.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Etapa 13.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Etapa 13.3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Etapa 13.3.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 13.3.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Etapa 13.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Etapa 13.3.1.3.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Etapa 13.3.1.3.2

Some $9 x$ e $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Etapa 14

Resolva $x$ .

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Etapa 14.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 14.1.1

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $9 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Etapa 14.1.3

Subtraia $9 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Etapa 14.1.4

Subtraia $18 x$ de $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Etapa 14.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Etapa 14.3

Subtraia $9$ de $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Etapa 14.4

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 14.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 14.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 14.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 14.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 14.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 14.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 14.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 14.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 1$

Etapa 15

Exclua as soluções que não tornam $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ verdadeira.

$x = 4$