Álgebra Exemplos

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

Etapa 1

Reescreva $2^{5 - x}$ como $2^{5} \cdot 2^{- x}$ .

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

Etapa 2

Reescreva $2^{- x}$ como exponenciação.

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Etapa 3

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

Etapa 4.3

Combine $32$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{32}{u} = 12$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{32}{u} = 12$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{32}{u} = 12$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 32 = 12 u$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $12 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore $u^{2} + 32 - 12 u$ usando o método AC.

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Etapa 5.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 8, - 4$

Etapa 5.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Etapa 5.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

Etapa 5.3.4

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.4.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 5.3.5

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.5.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 5.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 8) (u - 4) = 0$ verdadeiro.

$u = 8, 4$

Etapa 6

Substitua $8$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Etapa 7

Resolva $8 = 2^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Etapa 7.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{3}$

Etapa 7.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 8

Substitua $4$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Etapa 9

Resolva $4 = 2^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Etapa 9.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{2}$

Etapa 9.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 3, 2$