Álgebra Exemplos

$y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Em qualquer $y = \csc (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ . Defina a parte interna da função cossecante, $b x + c$ , para $y = a \csc (b x + c) + d$ igual a $0$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2.3.2

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função cossecante $2 x + \frac{π}{2}$ como igual a $2 π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = 2 π$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.4.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.4.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.4.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.4.1.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.5

O período básico para $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ ocorrerá em $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ , em que $- \frac{π}{4}$ e $\frac{3 π}{4}$ são assíntotas verticais.

$(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 1.6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.6.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{2}) + 3$ ocorrem em $- \frac{π}{4}$ , $\frac{3 π}{4}$ e a cada $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Etapa 1.8

A cossecante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 2

Use a forma $a \csc (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 3$

Etapa 3

Como o gráfico da função $c s c$ não tem um valor máximo nem mínimo, não pode haver valor para a amplitude.

Amplitude: nenhuma

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Etapa 4.1

Encontre o período de $- 2 \csc (2 x + \frac{π}{2})$ .

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Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2

Encontre o período de $3$ .

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Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$π$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Multiplique $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{2}$ .

Mudança de fase: $- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

Mudança de fase: $- \frac{π}{4}$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: nenhuma

Período: $π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $3$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , em que $n$ é um número inteiro

Amplitude: nenhuma

Período: $π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $3$

Etapa 8