Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \div \frac{x^{2} - 4 x - 12}{36 - x^{2}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 11 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $11$ .

$2, 9$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 3

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x^{1}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x \cdot 1} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 8 x - 9$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 9$ e cuja soma é $8$ .

$- 1, 9$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x + 9$ de $(x + 2) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x + 9$ de $(x - 1) (x + 9)$ .

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 2}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{x + 2}{x (x + 1)}$ por $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 2) ((1 + x) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $1 + x$ e $x + 1$ .

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Etapa 6.3.1

Reordene os termos.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) (1 - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $1 - x$ e $x - 1$ .

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Etapa 6.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - (x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1 + x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4.4

Reordene os termos.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) \cdot (- 1)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + 2)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 6.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 6$ e $b = x$ .

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x^{2} - 4 x - 12}$

Etapa 8

Fatore $x^{2} - 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 6, 2$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 9.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x + 2}{x}$ para o numerador.

$\frac{- (x + 2)}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Etapa 9.1.2

Fatore $x + 2$ de $- (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

Etapa 9.1.3

Fatore $x + 2$ de $(x - 6) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

Etapa 9.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$

Etapa 9.2

Multiplique $\frac{- 1}{x}$ por $\frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$ .

$\frac{- ((6 + x) (6 - x))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $6 - x$ e $x - 6$ .

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Etapa 9.3.1

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - x))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - (x)))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6 + x)))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

Etapa 9.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- (6 + x) \cdot (- 1)}{x}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 (6 + x)}{x}$

Etapa 10.2

Multiplique $6 + x$ por $1$ .

$\frac{6 + x}{x}$