Álgebra Exemplos

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x - 1$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

Etapa 8

A função $F$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$