Álgebra Exemplos

$x^{3} + 2 x - 1 = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 = 0$

Etapa 2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 3 = 0$

Etapa 3

Fatore $x^{3} + 2 x - 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 3.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 2 \cdot 1 - 3$

Etapa 3.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2 - 3$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$3 - 3$

Etapa 3.3.5

Subtraia $3$ de $3$ .

$0$

Etapa 3.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x - 3}{x - 1}$

Etapa 3.5

Divida $x^{3} + 2 x - 3$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Etapa 3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

Etapa 3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Etapa 3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x - 3$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Etapa 3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Etapa 3.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x + 3$

Etapa 3.6

Escreva $x^{3} + 2 x - 3$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 3 = 0$

Etapa 5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Defina $x^{2} + x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x^{2} + x + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x + 3 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} + x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x^{2} + x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$