Álgebra Exemplos

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} < \frac{5}{a + b}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5}{a + b}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{a^{2} - b^{2}} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b}$ .

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Etapa 2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = b$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{3 x}{a - b}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a + b) (a - b)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{3 x}{a - b}$ por $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{x}{(a + b) (a - b)} + \frac{3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Fatore $x$ de $x + 3 x (a + b)$ .

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Etapa 2.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + 3 x (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $x$ de $3 x (a + b)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.5.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (3 (a + b))$ .

$\frac{x (1 + 3 (a + b))}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} < 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- \frac{5}{a + b}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} < 0$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{5}{a + b}$ por $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (1 + 3 a + 3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 1 + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9.2

Simplifique.

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Etapa 2.9.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x + x (3 a) + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x + 3 x a + x (3 b) - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 (a - b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a - 5 (- b)}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} < 0$

Etapa 3

Multiplique os dois lados por $(a + b) (a - b)$ .

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique $\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b))$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $(a + b) (a - b)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b}{(a + b) (a - b)} ((a + b) (a - b)) < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x + 3 x a + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4.1.1.2

Reordene.

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Etapa 4.1.1.2.1

Mova $x$ .

$x + 3 a x + 3 x b - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4.1.1.2.2

Mova $x$ .

$x + 3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4.1.1.2.3

Mova $x$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 ((a + b) (a - b))$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $0 ((a + b) (a - b))$ .

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(a + b) (a - b)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a (a - b) + b (a - b))$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b (a - b))$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b))$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1.2.1

Combine os termos opostos em $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $a (- b)$ e $b a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a - a b + a b + b (- b))$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Some $- a b$ e $a b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + 0 + b (- b))$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Some $a \cdot a$ e $0$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a \cdot a + b (- b))$

Etapa 4.2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} + b (- b))$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b \cdot b)$

Etapa 4.2.1.2.2.3

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.2.3.1

Mova $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - (b \cdot b))$

Etapa 4.2.1.2.2.3.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0 (a^{2} - b^{2})$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $0$ por $a^{2} - b^{2}$ .

$3 a x + 3 b x - 5 a + 5 b + x < 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 5.1.1

Some $5 a$ aos dois lados da desigualdade.

$3 a x + 3 b x + 5 b + x < 5 a$

Etapa 5.1.2

Subtraia $5 b$ dos dois lados da desigualdade.

$3 a x + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $3 a x + 3 b x + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $3 a x$ .

$x (3 a) + 3 b x + x < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2.2

Fatore $x$ de $3 b x$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x (3 a) + x (3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2.5

Fatore $x$ de $x (3 a) + x (3 b)$ .

$x (3 a + 3 b) + x \cdot 1 < 5 a - 5 b$

Etapa 5.2.6

Fatore $x$ de $x (3 a + 3 b) + x \cdot 1$ .

$x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ por $3 a + 3 b + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x (3 a + 3 b + 1) < 5 a - 5 b$ por $3 a + 3 b + 1$ .

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 a + 3 b + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 a + 3 b + 1)}{3 a + 3 b + 1} < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{5 a}{3 a + 3 b + 1} + \frac{- 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x < \frac{5 a - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $5$ de $5 a - 5 b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $5$ de $5 a$ .

$x < \frac{5 (a) - 5 b}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $5$ de $- 5 b$ .

$x < \frac{5 (a) + 5 (- b)}{3 a + 3 b + 1}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $5$ de $5 (a) + 5 (- b)$ .

$x < \frac{5 (a - b)}{3 a + 3 b + 1}$