Álgebra Exemplos

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

Etapa 1

Resolva $y$ .

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Etapa 1.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

Etapa 1.2

Subtraia $y^{3}$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

Etapa 1.3

Some $27$ aos dois lados da equação.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

Etapa 1.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

Etapa 1.4.2

Fatore $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.4.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

Etapa 1.4.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Etapa 1.4.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.4.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.5

Multiplique $9$ por $9$ .

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.6

Some $- 27$ e $81$ .

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

Etapa 1.4.2.3.7

Multiplique $- 27$ por $3$ .

$54 - 81 + 27$

Etapa 1.4.2.3.8

Subtraia $81$ de $54$ .

$- 27 + 27$

Etapa 1.4.2.3.9

Some $- 27$ e $27$ .

$0$

Etapa 1.4.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $y - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

Etapa 1.4.2.5

Divida $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ por $y - 3$ .

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Etapa 1.4.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

Etapa 1.4.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

Etapa 1.4.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Etapa 1.4.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y^{3} + 3 y^{2}$ .

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Etapa 1.4.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

Etapa 1.4.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Etapa 1.4.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

Etapa 1.4.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

Etapa 1.4.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 y^{2} - 18 y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

Etapa 1.4.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

Etapa 1.4.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Etapa 1.4.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

Etapa 1.4.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

Etapa 1.4.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 y + 27$ .

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

Etapa 1.4.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

Etapa 1.4.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- y^{2} + 6 y - 9$

Etapa 1.4.2.6

Escreva $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ como um conjunto de fatores.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

Etapa 1.4.3

Fatore.

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Etapa 1.4.3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.4.3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ e cuja soma é $b = 6$ .

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Etapa 1.4.3.1.1.1

Fatore $6$ de $6 y$ .

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

Etapa 1.4.3.1.1.2

Reescreva $6$ como $3$ mais $3$

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

Etapa 1.4.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

Etapa 1.4.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.4.3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

Etapa 1.4.3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- y + 3$ .

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

Etapa 1.4.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4

Combine expoentes.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $- 1$ de $y$ .

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- y) - 1 (3)$ .

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.4

Eleve $- y + 3$ à potência de $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.5

Eleve $- y + 3$ à potência de $1$ .

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.7

Some $1$ e $1$ .

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.8

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.9

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.10

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 3)$ .

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.11

Reescreva $- (y - 3)$ como $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.12

Aplique a regra do produto a $- 1 (y - 3)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.14

Multiplique ${(y - 3)}^{2}$ por $1$ .

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

Etapa 1.4.4.15

Eleve $y - 3$ à potência de $1$ .

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

Etapa 1.4.4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

Etapa 1.4.4.17

Some $1$ e $2$ .

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

Etapa 1.5

Divida cada termo em $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.5.1

Divida cada termo em $- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.5.2.2

Divida ${(y - 3)}^{3}$ por $1$ .

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(y - 3)}^{3} = 0$

Etapa 1.6

Defina $y - 3$ como igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Etapa 1.7

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = 3$

Etapa 2

Defina $9 y^{2} - 27 y$ como igual a $0$ .

$3 = 0$

Etapa 3

Como $3 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução