Álgebra Exemplos

$5 x^{2} + 25 x + 8 \leq 4 x + 4$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$5 x^{2} + 25 x + 8 - 4 x \leq 4$

Etapa 1.2

Subtraia $4 x$ de $25 x$ .

$5 x^{2} + 21 x + 8 \leq 4$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$5 x^{2} + 21 x + 8 = 4$

Etapa 3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 21 x + 8 - 4 = 0$

Etapa 4

Subtraia $4$ de $8$ .

$5 x^{2} + 21 x + 4 = 0$

Etapa 5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ e cuja soma é $b = 21$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $21$ de $21 x$ .

$5 x^{2} + 21 (x) + 4 = 0$

Etapa 5.1.2

Reescreva $21$ como $1$ mais $20$

$5 x^{2} + (1 + 20) x + 4 = 0$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 1 x + 20 x + 4 = 0$

Etapa 5.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 x^{2} + x + 20 x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 x^{2} + x) + 20 x + 4 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (5 x + 1) + 4 (5 x + 1) = 0$

Etapa 5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 1$ .

$(5 x + 1) (x + 4) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 7

Defina $5 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $5 x + 1$ como igual a $0$ .

$5 x + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $5 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{5}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{5}$

Etapa 8

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(5 x + 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{5}, - 4$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$

$x > - \frac{1}{5}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$5 {(- 6)}^{2} + 25 (- 6) + 8 \leq 4 (- 6) + 4$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $38$ é maior do que o lado direito $- 20$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$5 {(- 2)}^{2} + 25 (- 2) + 8 \leq 4 (- 2) + 4$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 22$ é menor do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$5 {(0)}^{2} + 25 (0) + 8 \leq 4 (0) + 4$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $8$ é maior do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Verdadeiro

$x > - \frac{1}{5}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - \frac{1}{5}$ Verdadeiro

$x > - \frac{1}{5}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 \leq x \leq - \frac{1}{5}$

Notação de intervalo:

$[- 4, - \frac{1}{5}]$

Etapa 14