Álgebra Exemplos

$\cos (x) \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x \geq \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x \geq \frac{π}{3}$

Etapa 3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\cos (3) \geq \frac{1}{2}$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $- 0.98999249$ é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\cos (6) \geq \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $0.96017028$ é maior do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$\cos (9) \geq \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $- 0.91113026$ é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Falso

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Falso

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Verdadeiro

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{5 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10