Álgebra Exemplos

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{8}{2 x^{2} - 7 (x) + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 7$ como $- 2$ mais $- 5$

$\frac{8}{2 x^{2} + (- 2 - 5) x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8}{2 x^{2} - 2 x - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{8}{(2 x^{2} - 2 x) - 5 x + 5} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{8}{2 x (x - 1) - 5 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - x - 10}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} - (x) - 10}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $4$ mais $- 5$

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + (4 - 5) x - 10}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{2 x (x + 2) - 5 (x + 2)}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{8}{(x - 1) (2 x - 5)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3 x + 2}{(x + 2) (2 x - 5)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (2 x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x + 2) (2 x - 5) (x - 1)$ .

$\frac{8 (x + 2)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)} + \frac{(3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 (x + 2) + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x + 8 \cdot 2 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{8 x + 16 + (3 x + 2) (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.3

Expanda $(3 x + 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x (x - 1) + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (x - 1)}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x + 16 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 1}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - 3 x + 2 x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.4.2

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{8 x + 16 + 3 x^{2} - x - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.5

Subtraia $x$ de $8 x$ .

$\frac{7 x + 16 + 3 x^{2} - 2}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.6

Subtraia $2$ de $16$ .

$\frac{7 x + 3 x^{2} + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$

Etapa 6.7

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 14}{(2 x - 5) (x + 2) (x - 1)}$