Álgebra Exemplos

$f (x) = x \cdot 2^{x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x \cdot 2^{x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} x \cdot 2^{x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Reescreva $x \cdot 2^{x}$ como $\frac{x}{2^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2^{- x}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} 2^{- x}}$

Etapa 3.2.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} 2^{- x}}$

Etapa 3.2.1.3

Como o expoente $- x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $2^{- x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Etapa 3.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{- x}]}$

Etapa 3.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2) \cdot - 1}$

Etapa 3.2.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $2^{- x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot (2^{- x} \ln (2))}$

Etapa 3.2.3.8

Reescreva $- 1 \cdot 2^{- x}$ como $- 2^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2^{- x} \ln (2)}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- 2^{- x} \ln (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{2^{- x} \ln (2)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

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Etapa 3.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x} \ln (2)}$

Etapa 3.3.2

Mova o termo $\frac{1}{\ln (2)}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2^{- x}}$

Etapa 3.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{2^{- x}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Etapa 3.5

Multiplique $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$ .

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Etapa 3.5.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (2)}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7