Álgebra Exemplos

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{3^{2} - x^{2}}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x^{2} + 2 x - 3}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Fatore $9 x$ de $9 x^{3} - 45 x^{2} + 36 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $9 x$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) - 45 x^{2} + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3.1.2

Fatore $9 x$ de $- 45 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 36 x}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3.1.3

Fatore $9 x$ de $36 x$ .

$\frac{9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3.1.4

Fatore $9 x$ de $9 x (x^{2}) + 9 x (- 5 x)$ .

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3.1.5

Fatore $9 x$ de $9 x (x^{2} - 5 x) + 9 x (4)$ .

$\frac{9 x (x^{2} - 5 x + 4)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} - 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{9 x ((x - 4) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 18}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 11 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $11$ .

$2, 9$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 8 x^{2} - 32 x$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) - 8 x^{2} - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.1.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) - 32 x} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.1.3

Fatore $4 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2 x)$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} - 2 x) + 4 x (- 8)$ .

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x^{2} - 2 x - 8)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 5.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x ((x - 4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

$\frac{9 x (x - 4) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x (x - 4)$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x (x - 4)$ de $9 x (x - 4) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{4 x (x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x (x - 4)$ de $4 x (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 4) ((9) (x - 1))}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x - 4) ((4) (x + 2))} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 2) (x + 9)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x + 9$ de $(x + 2) (x + 9)$ .

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(9) (x - 1)}{x + 9} \cdot \frac{(x + 9) (x + 2)}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$(9) (x - 1) \cdot \frac{x + 2}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.3

Combine $\frac{x + 2}{(4) (x + 2)}$ e $9$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1) \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x - 1$ de $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$(x - 1) \frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{(x - 1) (x + 3)}$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)} \cdot \frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{(x + 2) \cdot 9}{(4) (x + 2)}$ por $\frac{(3 + x) (3 - x)}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 2) (x + 3)}$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) \cdot 9 ((3 + x) (3 - x))}{4 (x + 2) (x + 3)}$

Etapa 6.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 ((3 + x) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $3 + x$ e $x + 3$ .

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Etapa 6.7.1

Reordene os termos.

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{(4) (x + 3)}$

Etapa 6.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 ((x + 3) (3 - x))}{4 (x + 3)}$

Etapa 6.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 (3 - x)}{4}$