Álgebra Exemplos

${(x + 2)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Etapa 1

Subtraia ${(x + 2)}^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$y^{2} \leq 9 - {(x + 2)}^{2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x + 2$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x + 2) (3 - (x + 2))}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Some $3$ e $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - (x + 2))}$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 1 \cdot 2)}$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (3 - x - 2)}$

Etapa 3.2.1.3.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Etapa 4

Escreva $| y | \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$y \geq 0$

Etapa 4.2

Na parte em que $y$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ e a intersecção com $y \geq 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique $(x + 5) (- x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1

Expanda $(x + 5) (- x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.1.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.2

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.1.3

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 4.3.1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 4.3.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.3.1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.3.1.2.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.3.1.2.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.3.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 5$

Etapa 4.3.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 4.3.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 4.3.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.3.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.3.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.3.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 4.3.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x \leq 1$

Etapa 4.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 5, 1]$

Etapa 4.3.2

Encontre a intersecção de $y \geq 0$ e $[- 5, 1]$ .

$0 \leq y \leq 1$

Etapa 4.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$y < 0$

Etapa 4.5

Na parte em que $y$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Etapa 4.6

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ e a intersecção com $y < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 5) (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Simplifique $(x + 5) (- x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.1

Expanda $(x + 5) (- x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x + 1) + 5 (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- x^{2} + x + 5 (- x) + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \cdot 1 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.1.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$- x^{2} + x - 5 x + 5 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.2

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 4 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.1.3

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 5$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 4.6.1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 4.6.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.6.1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.6.1.2.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.6.1.2.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.6.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 5$

Etapa 4.6.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 4.6.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 4.6.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$((- 8) + 5) (- (- 8) + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.6.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 5) (- (0) + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.6.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.6.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) + 5) (- (4) + 1) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 4.6.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x \leq 1$

Etapa 4.6.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 5, 1]$

Etapa 4.6.2

Encontre a intersecção de $y < 0$ e $[- 5, 1]$ .

$- 5 \leq y < 0$

Etapa 4.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & 0 \leq y \leq 1 \\ - y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)} & - 5 \leq y < 0 \end{cases}$

Etapa 5

Encontre a intersecção de $y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ e $0 \leq y \leq 1$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Etapa 6

Resolva $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ quando $- 5 \leq y < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $- y \leq \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Etapa 6.1.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{(x + 5) (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ como $- \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ .

$y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$

Etapa 6.2

Encontre a intersecção de $y \geq - \sqrt{(x + 5) (- x + 1)}$ e $- 5 \leq y < 0$ .

Nenhuma solução

Etapa 7

Encontre a união das soluções.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Etapa 8