Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5} = {(\frac{1}{32})}^{4}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7} \cdot 64^{x + 5})$ como $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5})$ .

$\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{16})}^{x + 7})$ movendo $x + 7$ para fora do logaritmo.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + \ln (64^{x + 5}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (64^{x + 5})$ movendo $x + 5$ para fora do logaritmo.

$(x + 7) \ln (\frac{1}{16}) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (\frac{1}{16})$ como $\ln (1) - \ln (16)$ .

$(x + 7) (\ln (1) - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(x + 7) (0 - \ln (16)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.6

Reescreva $\ln (16)$ como $\ln (2^{4})$ .

$(x + 7) (0 - \ln (2^{4})) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.7

Expanda $\ln (2^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$(x + 7) (0 - (4 \ln (2))) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 7) (0 - 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 2.9

Subtraia $4 \ln (2)$ de $0$ .

$(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(x + 7) (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- 4 \ln (2)) + 7 (- 4 \ln (2)) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + (x + 5) \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 3.1.2

Reordene os fatores em $x (- 4 \ln (2)) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64)$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $\ln ({(\frac{1}{32})}^{4})$ .

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{32}$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1^{4}}{32^{4}})$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{32^{4}})$

Etapa 4.1.3

Eleve $32$ à potência de $4$ .

$- 4 x \ln (2) - 28 \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 5

Mova $- 28 \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) = \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - 28 \ln (2) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 0$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Some $28 \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) + 5 \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2)$

Etapa 7.2

Subtraia $5 \ln (64)$ dos dois lados da equação.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) - \ln (\frac{1}{1048576}) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64)$

Etapa 7.3

Some $\ln (\frac{1}{1048576})$ aos dois lados da equação.

$- 4 x \ln (2) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 8

Fatore $x$ de $- 4 x \ln (2) + x \ln (64)$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $- 4 x \ln (2)$ .

$x (- 4 \ln (2)) + x \ln (64) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $x \ln (64)$ .

$x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x (- 4 \ln (2)) + x (\ln (64))$ .

$x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$

Etapa 9

Divida cada termo em $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ por $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $x (- 4 \ln (2) + \ln (64)) = 28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})$ por $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (2) + \ln (64))}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $- 4 \ln (2) + \ln (64)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{- 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{28 \ln (2)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} - \frac{5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64)}{- 4 \ln (2) + \ln (64)} + \frac{\ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Etapa 9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 4 \ln (2) + \ln (64)}$

Etapa 9.3.4

Fatore $- 1$ de $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) + \ln (64)}$

Etapa 9.3.5

Fatore $- 1$ de $\ln (64)$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))}$

Etapa 9.3.6

Fatore $- 1$ de $- (4 \ln (2)) - 1 (- \ln (64))$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Etapa 9.3.7

Reescreva os negativos.

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Etapa 9.3.7.1

Reescreva $- (4 \ln (2) - \ln (64))$ como $- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))$ .

$x = \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{- 1 (4 \ln (2) - \ln (64))}$

Etapa 9.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{28 \ln (2) - 5 \ln (64) + \ln (\frac{1}{1048576})}{4 \ln (2) - \ln (64)}$

Forma decimal:

$x = - 11$