Álgebra Exemplos

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$

Etapa 1

Substitua $<$ por $=$ em $| (- 2 x + 9) (x - 1) | < 5 | x - 1 |$ .

$| (- 2 x + 9) (x - 1) | = 5 | x - 1 |$

Etapa 2

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$- (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 3

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 4

Resolva $(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.3

Expanda $(- 2 x + 9) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1.1.1

Mova $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.4.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.1.4.2

Some $2 x$ e $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 (x - 1)$

Etapa 4.2

Simplifique $5 (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Etapa 4.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = 5 x - 5$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 - 5 x = - 5$

Etapa 4.3.2

Subtraia $5 x$ de $11 x$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 = - 5$

Etapa 4.4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 6 x - 9 + 5 = 0$

Etapa 4.5

Some $- 9$ e $5$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Etapa 4.6

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $- 2$ de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Etapa 4.6.1.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Etapa 4.6.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Etapa 4.6.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 4.6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 4.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.9

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.10

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 1$

Etapa 5

Resolva $(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $(- 2 x + 9) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(- 2 x + 9) (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.3

Expanda $(- 2 x + 9) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x (x - 1) + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 (x - 1) = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1.1

Mova $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x + 9 \cdot - 1 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.4.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 9 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.1.4.2

Some $2 x$ e $9 x$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 (x - 1)$

Etapa 5.2

Simplifique $- 5 (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x - 5 \cdot - 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 = - 5 x + 5$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 11 x - 9 + 5 x = 5$

Etapa 5.3.2

Some $11 x$ e $5 x$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 = 5$

Etapa 5.4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} + 16 x - 9 - 5 = 0$

Etapa 5.5

Subtraia $5$ de $- 9$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Etapa 5.6

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2} + 16 x - 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 14 = 0$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $- 2$ de $16 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 14 = 0$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $- 2$ de $- 14$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Etapa 5.6.1.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 8 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 \cdot 7 = 0$

Etapa 5.6.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} - 8 x) - 2 (7)$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 7) = 0$

Etapa 5.6.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Fatore $x^{2} - 8 x + 7$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $7$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 7, - 1$

Etapa 5.6.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 ((x - 7) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.6.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$

Etapa 5.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.8

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 5.8.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 5.9

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.10

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x - 7) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 1$

Etapa 6

Liste todas as soluções.

$x = 2, 1, 7, 1$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$| (- 2 \cdot 0 + 9) ((0) - 1) | < 5 | (0) - 1 |$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo $9$ não é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 8.2.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$| (- 2 \cdot 1.5 + 9) ((1.5) - 1) | < 5 | (1.5) - 1 |$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $2.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$| (- 2 \cdot 4 + 9) ((4) - 1) | < 5 | (4) - 1 |$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo $3$ é menor do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 8.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$| (- 2 \cdot 10 + 9) ((10) - 1) | < 5 | (10) - 1 |$

Etapa 8.4.3

O lado esquerdo $99$ não é menor do que o lado direito $45$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Falso

$2 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 7$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$2 < x < 7$

Notação de intervalo:

$(2, 7)$

Etapa 11