Álgebra Exemplos

$x^{2} + 11 x \geq 7 x + 32$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $7 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} + 11 x - 7 x \geq 32$

Etapa 1.2

Subtraia $7 x$ de $11 x$ .

$x^{2} + 4 x \geq 32$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 4 x = 32$

Etapa 3

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $4$ .

$- 4, 8$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 8$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{2} + 11 (- 10) \geq 7 (- 10) + 32$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 10$ é maior do que o lado direito $- 38$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 11 (0) \geq 7 (0) + 32$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $32$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{2} + 11 (6) \geq 7 (6) + 32$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $102$ é maior do que o lado direito $74$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 8$ ou $x \geq 4$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 8 or x \geq 4$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 8] \cup [4, \infty)$

Etapa 13