Álgebra Exemplos

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $x + 2 \sqrt{x - 1} = y$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = y$

Etapa 2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{x - 1} = y - x$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.4

Simplifique.

$4 (x - 1) = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 x - 4 = {(y - x)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Simplifique ${(y - x)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva ${(y - x)}^{2}$ como $(y - x) (y - x)$ .

$4 x - 4 = (y - x) (y - x)$

Etapa 4.3.1.2

Expanda $(y - x) (y - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 4 = y (y - x) - x (y - x)$

Etapa 4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x (y - x)$

Etapa 4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 4 = y \cdot y + y (- x) - x y - x (- x)$

Etapa 4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} + y (- x) - x y - x (- x)$

Etapa 4.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - x (- x)$

Etapa 4.3.1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 4.3.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.3.1.4.1

Mova $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 4.3.1.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + 1 x^{2}$

Etapa 4.3.1.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$4 x - 4 = y^{2} - y x - x y + x^{2}$

Etapa 4.3.1.3.2

Subtraia $x y$ de $- y x$ .

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Etapa 4.3.1.3.2.1

Mova $y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - x y - x y + x^{2}$

Etapa 4.3.1.3.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$4 x - 4 = y^{2} - 2 x y + x^{2}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} = 4 x - 4$

Etapa 5.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x = - 4$

Etapa 5.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y^{2} - 2 x y + x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Etapa 5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 y - 4$ e $c = y^{2} + 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 4) \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (- 2 y) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.4

Adicione parênteses.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(- 2 y - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5

Deixe $u = 1 \cdot (y^{2} + 4)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

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Etapa 5.6.1.5.1

Reescreva ${(- 2 y - 4)}^{2}$ como $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{(- 2 y - 4) (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.2

Expanda $(- 2 y - 4) (- 2 y - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 4) - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.1.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.1.5.3.1.2.1

Mova $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 4 - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 8 y + 8 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.5.3.2

Some $8 y$ e $8 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6

Fatore $4$ de $4 y^{2} + 16 y + 16 - 4 u$ .

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Etapa 5.6.1.6.1

Fatore $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 16 y + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.2

Fatore $4$ de $16 y$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.3

Fatore $4$ de $16$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.4

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.5

Fatore $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (4 y)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.6

Fatore $4$ de $4 (y^{2} + 4 y) + 4 (4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.6.7

Fatore $4$ de $4 (y^{2} + 4 y + 4) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 \cdot (y^{2} + 4)$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (1 \cdot (y^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8

Simplifique.

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Etapa 5.6.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1.8.1.1

Multiplique $y^{2} + 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - (y^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.2

Combine os termos opostos em $y^{2} + 4 y + 4 - y^{2} - 4$ .

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Etapa 5.6.1.8.2.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.2.2

Some $4 y + 4$ e $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y + 0)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.8.2.4

Some $4 y$ e $0$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 (4 y)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 y)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{16 y}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.10

Reescreva $16 y$ como ${(2^{2})}^{2} y$ .

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Etapa 5.6.1.10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{4^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} y}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 y + 4 \pm 2^{2} \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y + 4 \pm 4 \sqrt{y}}{2}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 + 2 \sqrt{y}$

$x = y + 2 - 2 \sqrt{y}$