Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $2 x + 12$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x) + 12}{x}$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 2 \cdot 6}{x}$

Etapa 1.2.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 6$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 2 x, x$

Etapa 2.2

Since $x^{2}, 2 x, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ .

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.7

O MMC de $1, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 2.8

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.9

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $x^{2}, x^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x$

Etapa 2.11

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Etapa 2.12

O MMC de $x^{2}, 2 x, x$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 x^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ por $2 x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 (x + 6)}{x}$ por $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} (2 x^{2}) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{(x - 3) (x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 ((x - 3) (x + 2))}{x^{2}} x^{2} = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 ((x - 3) (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Expanda $(x - 3) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x + 2) - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 (x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3 x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$2 (x^{2} - x - 6) = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot - 6 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{2 x} (2 x^{2}) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 (x)} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 2 \frac{x - 6}{2 x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} x^{2} + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = \frac{x - 6}{x} (x \cdot x) + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = (x - 6) x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x \cdot x - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (x + 6)}{x} (2 x^{2})$

Etapa 3.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 2 \frac{2 (x + 6)}{x} x^{2}$

Etapa 3.3.1.7

Multiplique $2 \frac{2 (x + 6)}{x}$ .

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Etapa 3.3.1.7.1

Combine $2$ e $\frac{2 (x + 6)}{x}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{2 (2 (x + 6))}{x} x^{2}$

Etapa 3.3.1.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} x^{2}$

Etapa 3.3.1.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1.8.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Etapa 3.3.1.8.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + \frac{4 (x + 6)}{x} (x \cdot x)$

Etapa 3.3.1.8.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x + 6) x$

Etapa 3.3.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 4 \cdot 6) x$

Etapa 3.3.1.10

Multiplique $4$ por $6$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + (4 x + 24) x$

Etapa 3.3.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x \cdot x + 24 x$

Etapa 3.3.1.12

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.12.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 (x \cdot x) + 24 x$

Etapa 3.3.1.12.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = x^{2} - 6 x + 4 x^{2} + 24 x$

Etapa 3.3.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} - 6 x + 24 x$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 6 x$ e $24 x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 12 = 5 x^{2} + 18 x$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $5 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} = 18 x$

Etapa 4.1.2

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 2 x - 12 - 5 x^{2} - 18 x = 0$

Etapa 4.1.3

Subtraia $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x - 12 - 18 x = 0$

Etapa 4.1.4

Subtraia $18 x$ de $- 2 x$ .

$- 3 x^{2} - 20 x - 12 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2} - 20 x - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 20 x - 12 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- 20 x$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 12 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$- (3 x^{2}) - (20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Etapa 4.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (20 x)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x) - 1 \cdot 12 = 0$

Etapa 4.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} + 20 x) - 1 (12)$ .

$- (3 x^{2} + 20 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36$ e cuja soma é $b = 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $20$ de $20 x$ .

$- (3 x^{2} + 20 (x) + 12) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Reescreva $20$ como $2$ mais $18$

$- (3 x^{2} + (2 + 18) x + 12) = 0$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} + 2 x + 18 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} + 2 x) + 18 x + 12) = 0$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x + 2) + 6 (3 x + 2)) = 0$

Etapa 4.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$- ((3 x + 2) (x + 6)) = 0$

Etapa 4.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x + 2) (x + 6) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 4.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x + 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, - 6$