Álgebra Exemplos

$\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2) - \log (x - 3)$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (\frac{2}{x - 3})$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x}{5} = \frac{2}{x - 3}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$x (x - 3) = 5 \cdot 2$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique $x (x - 3)$ .

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Etapa 4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = 5 \cdot 2$

Etapa 4.2.1.2.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 3 x = 5 \cdot 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Etapa 4.2.3

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Etapa 4.2.4

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 4.2.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Etapa 4.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.2.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.2.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 2$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\log (x) - \log (5) = \log (2) - \log (x - 3)$ verdadeira.

$x = 5$