Álgebra Exemplos

$\ln (x) \leq 9$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (x) = 9$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{9}$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (x) = 9$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{9} = x$

Etapa 2.3

Reescreva a equação como $x = e^{9}$ .

$x = e^{9}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\ln (x) - 9$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < e^{9}$

$x > e^{9}$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\ln (- 2) \leq 9$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < e^{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < e^{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\ln (2) \leq 9$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $0.69314718$ é menor do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > e^{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > e^{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8106$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $8106$ na desigualdade original.

$\ln (8106) \leq 9$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $9.0003598$ é maior do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < e^{9}$ Verdadeiro

$x > e^{9}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < e^{9}$ Verdadeiro

$x > e^{9}$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq e^{9}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x \leq e^{9}$

Notação de intervalo:

$(0, e^{9}]$

Etapa 8