Álgebra Exemplos

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Etapa 1

Crie um gráfico de $y^{2} = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação como $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $2 x = y^{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $2 x = y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Etapa 1.3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.3.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.3.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.3.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 \cdot 2$

Etapa 1.3.1.1.3.2.3

Multiplique $0$ por $2$ .

$d = 0$

Etapa 1.3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.3.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.3.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Etapa 1.3.1.1.4.2.1.4

Divida $0$ por $2$ .

$e = 0 - 0$

Etapa 1.3.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Etapa 1.3.1.1.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$e = 0$

Etapa 1.3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}$

Etapa 1.3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Etapa 1.3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Etapa 1.3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 1.3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Etapa 1.3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.3.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.3.5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 1.3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Etapa 1.3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 0$

Etapa 1.3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 1.3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{2}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \sqrt{2 x}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 1.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{2 (1)}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 1.4.1.3

Converta $\sqrt{2}$ em decimal.

$= 1.41421356$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - \sqrt{2 x}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 1.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \sqrt{2 (1)}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 1.4.2.3

Converta $- \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 1.41421356$

Etapa 1.4.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \sqrt{2 x}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{2 (2)}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = \sqrt{4}$

Etapa 1.4.3.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.4.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2) = 2$

Etapa 1.4.3.2.4

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 1.4.3.3

Converta $2$ em decimal.

$= 2$

Etapa 1.4.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = - \sqrt{2 x}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \sqrt{2 (2)}$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = - \sqrt{4}$

Etapa 1.4.4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (2) = - \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.4.4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.4.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = - 2$

Etapa 1.4.4.2.5

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 1.4.4.3

Converta $- 2$ em decimal.

$= - 2$

Etapa 1.4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Etapa 1.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.41 \\ 1 & - 1.41 \\ 2 & 2 \\ 2 & - 2 \end{array}$

Etapa 2

Crie um gráfico de $x = 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva a equação como $2 y = x$ .

$2 y = x$

Etapa 2.1.2

Divida cada termo em $2 y = x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida cada termo em $2 y = x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{2}$

Etapa 2.2

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.2.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{2} x$

Etapa 2.3

Use a forma reduzida para encontrar a inclinação e a intersecção com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontre os valores de $m$ e $b$ usando a forma $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = 0$

Etapa 2.3.2

A inclinação da linha é o valor de $m$ , e a intersecção com o eixo y é o valor de $b$ .

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, 0)$

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, 0)$

Etapa 2.4

Qualquer reta pode ser representada graficamente usando-se dois pontos. Selecione dois valores $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores $y$ correspondentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{2} x$

Etapa 2.4.2

Crie a tabela dos valores $x$ e $y$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

Etapa 2.5

Desenhe a reta no gráfico usando a inclinação e a intersecção com o eixo y, ou os pontos.

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

Inclinação: $\frac{1}{2}$

intersecção com o eixo y: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}$

Etapa 3

Plote cada gráfico no mesmo sistema de coordenadas.

$y^{2} = 2 x$

$x = 2 y$

Etapa 4