Álgebra Exemplos

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(u^{2} + 5 u - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} + 5 u - 36$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $5$ .

$- 4, 9$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Etapa 7

Fatore.

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Etapa 7.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 7.1.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 9 (x) - 5) = 0$

Etapa 7.1.1.2

Reescreva $9$ como $- 1$ mais $10$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5) = 0$

Etapa 7.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 5)) = 0$

Etapa 7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 9

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 10

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 11.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 12

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 12.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 12.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 12.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 12.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 13

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$