Álgebra Exemplos

$y^{2} - 6 y + 8 x = 15$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 6 y + 8 x = 15 - y^{2}$

Etapa 1.2

Some $6 y$ aos dois lados da equação.

$8 x = 15 - y^{2} + 6 y$

Etapa 2

Divida cada termo em $8 x = 15 - y^{2} + 6 y$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $8 x = 15 - y^{2} + 6 y$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{15}{8} + \frac{- y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{6 y}{8}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6 y$ .

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{8}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{2 (4)}$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{2 (3 y)}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{15}{8} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4}$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Mova $\frac{15}{8}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{15}{8}$

Etapa 3.1.2

Complete o quadrado de $- \frac{y^{2}}{8} + \frac{3 y}{4} + \frac{15}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = \frac{15}{8}$

Etapa 3.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{8})})$

Etapa 3.1.2.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{8}$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2}{8}})$

Etapa 3.1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{8}})$

Etapa 3.1.2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Etapa 3.1.2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}})$

Etapa 3.1.2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{4} (- \frac{1}{\frac{1}{4}})$

Etapa 3.1.2.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{4} (- (1 \cdot 4))$

Etapa 3.1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.6.1

Fatore $4$ de $- (1 \cdot 4)$ .

$d = \frac{3}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 3.1.2.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{4} (4 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 3.1.2.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = 3 (- 1 \cdot (1))$

Etapa 3.1.2.3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = 3 \cdot - 1$

Etapa 3.1.2.3.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Etapa 3.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 4}{8}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{15}{8} - \frac{\frac{9}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{16} (- 1 \cdot 2))$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.1

Fatore $2$ de $16$ .

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (- 1 \cdot 2))$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.2

Fatore $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 (8)} (2 \cdot - 1))$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{2 \cdot 8} (2 \cdot - 1))$

Etapa 3.1.2.4.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$e = \frac{15}{8} - (\frac{9}{8} \cdot - 1)$

Etapa 3.1.2.4.2.1.6

Combine $\frac{9}{8}$ e $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{9 \cdot - 1}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} - \frac{- 9}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{15}{8} - - \frac{9}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.1.9

Multiplique $- - \frac{9}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{15}{8} + 1 (\frac{9}{8})$

Etapa 3.1.2.4.2.1.9.2

Multiplique $\frac{9}{8}$ por $1$ .

$e = \frac{15}{8} + \frac{9}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{15 + 9}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.3

Some $15$ e $9$ .

$e = \frac{24}{8}$

Etapa 3.1.2.4.2.4

Divida $24$ por $8$ .

$e = 3$

Etapa 3.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{8} {(y - 3)}^{2} + 3$ .

$- \frac{1}{8} {(y - 3)}^{2} + 3$

Etapa 3.1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - \frac{1}{8} \cdot {(y - 3)}^{2} + 3$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 3$

$k = 3$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 3)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Etapa 3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Etapa 3.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Etapa 3.5.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Etapa 3.5.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.5.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.5.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Etapa 3.5.3.5

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Etapa 3.5.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, 3)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 3$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = 5$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eixo de simetria: $y = 3$

Diretriz: $x = 5$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eixo de simetria: $y = 3$

Diretriz: $x = 5$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = 3 + 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 (- (1) + 3)}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 (- 1 + 3)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = 3 + 2 \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = 3 + 2 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 + 4$

Etapa 4.1.2.2

Some $3$ e $4$ .

$f (1) = 7$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $7$ .

$y = 7$

Etapa 4.1.3

Converta $7$ em decimal.

$= 7$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 (- (1) + 3)}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 (- 1 + 3)}$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{4}$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = 3 - 2 \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.2.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = 3 - 2 \cdot 2$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (1) = 3 - 4$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f (1) = - 1$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 4.2.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = 3 + 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 5.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 (- (2) + 3)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 (- 2 + 3)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (2) = 3 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $3 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 3 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3

Converta $3 + 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= 5.82842712$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = 3 - 2 \sqrt{2 (- x + 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 0.17157287)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 (- (2) + 3)}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 (- 2 + 3)}$

Etapa 4.4.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (2) = 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $3 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.3

Converta $3 - 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= 0.17157287$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 7 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 5.83 \\ 2 & 0.17 \\ 3 & 3 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 3)$

Foco: $(1, 3)$

Eixo de simetria: $y = 3$

Diretriz: $x = 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 7 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 5.83 \\ 2 & 0.17 \\ 3 & 3 \end{array}$

Etapa 6