Álgebra Exemplos

$3 e^{4 x} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{4 x}$ como exponenciação.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 e^{2 x} - 15 = 0$

Etapa 2

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

$3 {(e^{x})}^{4} - 9 {(e^{x})}^{2} - 15 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$

Etapa 4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $u = u^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$3 u^{2} - 9 u - 15 = 0$

$u = u^{2}$

Etapa 4.2

Fatore $3$ de $3 u^{2} - 9 u - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $3$ de $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) - 9 u - 15 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore $3$ de $- 9 u$ .

$3 (u^{2}) + 3 (- 3 u) - 15 = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore $3$ de $- 15$ .

$3 u^{2} + 3 (- 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.2.4

Fatore $3$ de $3 u^{2} + 3 (- 3 u)$ .

$3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.2.5

Fatore $3$ de $3 (u^{2} - 3 u) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $3 (u^{2} - 3 u - 5) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (u^{2} - 3 u - 5)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $u^{2} - 3 u - 5$ por $1$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = \frac{0}{3}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$u^{2} - 3 u - 5 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 5$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.1.3

Some $9$ e $20$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}, \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$

Etapa 4.8

Substitua o valor real de $u = u^{2}$ de volta na equação resolvida.

$u^{2} = 4.1925824$

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Etapa 4.9

Resolva a primeira equação para $u$ .

$u^{2} = 4.1925824$

Etapa 4.10

Resolva a equação para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt{4.1925824}$

Etapa 4.10.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt{4.1925824}$

Etapa 4.10.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt{4.1925824}$

Etapa 4.10.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}$

Etapa 4.11

Resolva a segunda equação para $u$ .

${(u^{2})}^{1} = - 1.1925824$

Etapa 4.12

Resolva a equação para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Remova os parênteses.

$u^{2} = - 1.1925824$

Etapa 4.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt{- 1.1925824}$

Etapa 4.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 1.1925824}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.3.1

Reescreva $- 1.1925824$ como $- 1 (1.1925824)$ .

$u = \pm \sqrt{- 1 (1.1925824)}$

Etapa 4.12.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (1.1925824)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.1925824}$

Etapa 4.12.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \pm i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 4.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 4.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 4.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 4.13

A solução para $3 u^{4} - 9 u^{2} - 15 = 0$ é $u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$ .

$u = \sqrt{4.1925824}, - \sqrt{4.1925824}, i \sqrt{1.1925824}, - i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 5

Substitua $\sqrt{4.1925824}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Etapa 6

Resolva $\sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = \sqrt{4.1925824}$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Etapa 6.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Etapa 6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Etapa 6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\sqrt{4.1925824})$

Etapa 7

Substitua $- \sqrt{4.1925824}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$

Etapa 8

Resolva $- \sqrt{4.1925824} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$ .

$e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \sqrt{4.1925824})$

Etapa 8.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- \sqrt{4.1925824})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 8.4

Não há uma solução para $e^{x} = - \sqrt{4.1925824}$

Nenhuma solução

Etapa 9

Substitua $i \sqrt{1.1925824}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Etapa 10

Resolva $i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva a equação como $e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Etapa 10.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Etapa 10.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Etapa 10.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{1.1925824})$

Etapa 10.4

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Reescreva $\ln (i \sqrt{1.1925824})$ como $\ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$ .

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{1.1925824})$

Etapa 10.4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1.1925824}$ como ${1.1925824}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.4.3

Expanda $\ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Etapa 10.4.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (1.1925824)}{2}$

Etapa 10.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Reescreva $\frac{\ln (1.1925824)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ .

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (1.1925824)$

Etapa 10.5.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (1.1925824)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (i) + \ln ({1.1925824}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.5.1.3

Reescreva $1.1925824$ como ${1.09205421}^{2}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({({1.09205421}^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.5.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 10.5.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 10.5.1.5.2

Reescreva a expressão.

$x = \ln (i) + \ln ({1.09205421}^{1})$

Etapa 10.5.1.6

Avalie o expoente.

$x = \ln (i) + \ln (1.09205421)$

Etapa 10.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 1.09205421)$

Etapa 10.5.3

Mova $1.09205421$ para a esquerda de $i$ .

$x = \ln (1.09205421 i)$

Etapa 11

Substitua $- i \sqrt{1.1925824}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$

Etapa 12

Resolva $- i \sqrt{1.1925824} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$ .

$e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Etapa 12.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{1.1925824})$

Etapa 12.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- i \sqrt{1.1925824})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 12.4

Não há uma solução para $e^{x} = - i \sqrt{1.1925824}$

Nenhuma solução

Etapa 13

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\sqrt{4.1925824}), \ln (1.09205421 i)$