Álgebra Exemplos

$\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} > \sqrt{3}$

Etapa 1

Some $\sqrt{c}$ aos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{c + 9} > \sqrt{3} + \sqrt{c}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{c + 9}}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{c + 9}$ como ${(c + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(c + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(c + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(c + 9)}^{1} > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$c + 9 > {(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(\sqrt{3} + \sqrt{c})}^{2}$ como $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ .

$c + 9 > (\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(\sqrt{3} + \sqrt{c}) (\sqrt{3} + \sqrt{c})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{c}) + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} (\sqrt{3} + \sqrt{c})$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$c + 9 > \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$c + 9 > \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$c + 9 > \sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$c + 9 > \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3} \sqrt{c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c} \sqrt{3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + \sqrt{c} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.7

Multiplique $\sqrt{c} \sqrt{c}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.7.1

Eleve $\sqrt{c}$ à potência de $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}$

Etapa 3.3.1.3.1.7.2

Eleve $\sqrt{c}$ à potência de $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.7.4

Some $1$ e $1$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {\sqrt{c}}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.8

Reescreva ${\sqrt{c}}^{2}$ como $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{c}$ como $c^{\frac{1}{2}}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3.1.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.8.4.2

Reescreva a expressão.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.8.5

Simplifique.

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{c \cdot 3} + c$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $\sqrt{3 c}$ e $\sqrt{c \cdot 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.2.1

Reordene $c$ e $3$ .

$c + 9 > 3 + \sqrt{3 c} + \sqrt{3 \cdot c} + c$

Etapa 3.3.1.3.2.2

Some $\sqrt{3 c}$ e $\sqrt{3 \cdot c}$ .

$c + 9 > 3 + 2 \sqrt{3 c} + c$

Etapa 4

Resolva $2 \sqrt{3 c}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva de forma que $2 \sqrt{3 c}$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$3 + 2 \sqrt{3 c} + c < c + 9$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $2 \sqrt{3 c}$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$2 \sqrt{3 c} + c < c + 9 - 3$

Etapa 4.2.2

Subtraia $c$ dos dois lados da desigualdade.

$2 \sqrt{3 c} < c + 9 - 3 - c$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $c + 9 - 3 - c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $c$ de $c$ .

$2 \sqrt{3 c} < 0 + 9 - 3$

Etapa 4.2.3.2

Some $0$ e $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 9 - 3$

Etapa 4.2.4

Subtraia $3$ de $9$ .

$2 \sqrt{3 c} < 6$

Etapa 5

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(2 \sqrt{3 c})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 c}$ como ${(3 c)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${(2 {(3 c)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 c$ .

${(2 (3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}))}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} c^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 3^{1} {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Avalie o expoente.

$4 \cdot 3 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique os expoentes em ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$12 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$12 c^{1} < 6^{2}$

Etapa 6.2.1.8

Simplifique.

$12 c < 6^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$12 c < 36$

Etapa 7

Divida cada termo em $12 c < 36$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $12 c < 36$ por $12$ .

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 c}{12} < \frac{36}{12}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c < \frac{36}{12}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Divida $36$ por $12$ .

$c < 3$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\sqrt{c + 9} - \sqrt{c} - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina o radicando em $\sqrt{c + 9}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$c + 9 \geq 0$

Etapa 8.2

Subtraia $9$ dos dois lados da desigualdade.

$c \geq - 9$

Etapa 8.3

Defina o radicando em $\sqrt{c}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$c \geq 0$

Etapa 8.4

O domínio consiste em todos os valores de $c$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$c < 0$

$0 < c < 3$

$c > 3$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $c < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $c < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$c = - 2$

Etapa 10.1.2

Substitua $c$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 2) + 9} - \sqrt{- 2} > \sqrt{3}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $0 < c < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < c < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$c = 2$

Etapa 10.2.2

Substitua $c$ por $2$ na desigualdade original.

$\sqrt{(2) + 9} - \sqrt{2} > \sqrt{3}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $1.90241122$ é maior do que o lado direito $1.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $c > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $c > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$c = 6$

Etapa 10.3.2

Substitua $c$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(6) + 9} - \sqrt{6} > \sqrt{3}$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $1.4234936$ não é maior do que o lado direito $1.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Verdadeiro

$c > 3$ Falso

$c < 0$ Falso

$0 < c < 3$ Verdadeiro

$c > 3$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < c < 3$

Etapa 12