Álgebra Exemplos

$y = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como ${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y - 1} + 2 = x$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{y - 1}}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Etapa 2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2^{y - 1}} + 2 = x$

Etapa 2.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{2^{y - 1}} = x - 2$

Etapa 2.4

Multiplique os dois lados da equação por $2^{y - 1}$ .

$1 = 2^{y - 1} (x - 2)$

Etapa 2.5

Reescreva a equação como $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ .

$2^{y - 1} (x - 2) = 1$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ por $x - 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $2^{y - 1} (x - 2) = 1$ por $x - 2$ .

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{y - 1} (x - 2)}{x - 2} = \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2.6.2.1.2

Divida $2^{y - 1}$ por $1$ .

$2^{y - 1} = \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2.7

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Etapa 2.8

Expanda $\ln (2^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Etapa 2.9

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Simplifique $(y - 1) \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Etapa 2.9.1.2

Reescreva $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (\frac{1}{x - 2})$

Etapa 2.10

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = 0$

Etapa 2.11

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Some $\ln (2)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (2) - \ln (\frac{1}{x - 2}) = \ln (2)$

Etapa 2.11.2

Some $\ln (\frac{1}{x - 2})$ aos dois lados da equação.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$

Etapa 2.12

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (\frac{1}{x - 2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 2.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 2.12.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 2.12.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 2.12.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3

Combine os termos opostos em $1 + \frac{\ln (\frac{1}{({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) - 2})}{\ln (2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 0})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2

Some ${(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{x - 1}})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1^{x - 1}}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{2^{x - 1}}})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.2.2

Multiplique $2^{x - 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.3

Expanda $\ln (2^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.4

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4.4.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = 1 + x - 1$

Etapa 4.2.5

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x + 0$

Etapa 4.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em ${(\frac{1}{2})}^{(1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) - 1} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{0 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Etapa 4.3.3.2

Some $0$ e $\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}} + 2$

Etapa 4.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Etapa 4.3.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}}} + 2$

Etapa 4.3.4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (\frac{1}{x - 2})}} + 2$

Etapa 4.3.4.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Etapa 4.3.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = 1 (x - 2) + 2$

Etapa 4.3.4.5

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x - 2 + 2$

Etapa 4.3.5

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x + 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{x - 2})}{\ln (2)}$