Álgebra Exemplos

$y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$

Etapa 1

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ por $x^{2} - 4$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $y^{2} (x^{2} - 4) = x + 2$ por $x^{2} - 4$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{2}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$

Etapa 3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$

Etapa 3.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Etapa 3.4.2

Eleve $\sqrt{x - 2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Etapa 3.4.3

Eleve $\sqrt{x - 2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Etapa 3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Etapa 3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Etapa 3.4.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

$y = - \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Etapa 5

Defina o radicando em $\sqrt{x - 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 2 \geq 0$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 2$

Etapa 7

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 8

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 2}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(2, \infty), {x | x > 2}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Etapa 12