Álgebra Exemplos

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Etapa 1.2

Fatore $x^{2} + 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x - 1}{(x - 2) (x + 3)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 2) (x + 3) (x + 1)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 1) (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(x - 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 1) - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1) - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 6.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 1$ e $- 1 x$ .

$\frac{x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 1 + (- x - - 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 + (- x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.6

Expanda $(- x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 1 - x (x - 2) + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.7.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.7.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x^{2} + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.8

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 + 4 x - 4}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$

Etapa 6.10

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$\frac{4 x - 5}{(x + 1) (x + 3) (x - 2)}$