Álgebra Exemplos

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Etapa 2

Substitua $\cot^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Etapa 6

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 7

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 7.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 7.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 9

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 10

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 10.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 11

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 1, - 2$

Etapa 12

Substitua $\csc (x)$ por $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Etapa 13

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\csc (x) = 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $arccsc (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 14.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 14.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

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Etapa 14.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 14.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 14.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Resolva $x$ em $\csc (x) = - 2$ .

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Etapa 15.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- 2)$

Etapa 15.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.2.1

O valor exato de $arccsc (- 2)$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 15.3

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 15.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 15.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 15.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 15.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 15.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 15.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 15.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.6.3

Combine frações.

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Etapa 15.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 15.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 15.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 15.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 15.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 15.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 17

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$