Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1}) = 2 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 y + 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2 y + 1}$ .

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sqrt{2 y + 1}}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 y + 1} = 2 x$

Etapa 3.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 y + 1}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 y + 1}$ como ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 y + 1)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$2 y + 1 = {(2 x)}^{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique ${(2 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$2 y + 1 = 2^{2} x^{2}$

Etapa 3.5.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 y + 1 = 4 x^{2}$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y = 4 x^{2} - 1$

Etapa 3.6.2

Divida cada termo em $2 y = 4 x^{2} - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Divida cada termo em $2 y = 4 x^{2} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3.1.1.2.4

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.6.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1})}^{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 {(\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ como $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2^{2}}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{4}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 (2)}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = 2 (\frac{2 x + 1}{2 \cdot 2}) - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $2 x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (2 x^{2} - \frac{1}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2} - \frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + 1}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 2 (\frac{- 1}{2}) + 1}$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} - 1 + 1}$

Etapa 5.3.6

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Etapa 5.3.6.2

Some $4 x^{2}$ e $0$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Etapa 5.3.7

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Etapa 5.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Etapa 5.3.9.2

Cancele o fator comum.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Etapa 5.3.9.3

Reescreva a expressão.

$f (2 x^{2} - \frac{1}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{2}$