Álgebra Exemplos

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Etapa 3.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 3.1.3.4

Divida $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.4

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 3.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.4.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 3.6.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 3.6.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 1) (x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 4.1.3.4

Divida $x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} x {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.4

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 4.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.6.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Some $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.6.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 4.6.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 4.6.3.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 1, - 1$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 1, - 1$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8