Álgebra Exemplos

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Etapa 2

Resolva a equação.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Etapa 2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Etapa 2.1.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Etapa 2.3.3

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Etapa 2.3.4

Fatore $x^{2} + 4 x - 32$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $4$ .

$- 4, 8$

Etapa 2.3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Etapa 2.3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.3.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.3.7

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.7.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3.7.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 2.3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 8$

Etapa 3

Encontre o domínio de $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 4 x > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 4 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Etapa 3.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4$

Etapa 3.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 3.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 3.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 3.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Etapa 3.2.8.1.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 3.2.8.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Etapa 3.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 4$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 3.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 3.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 3.2.8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Etapa 3.2.8.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 3.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 3.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $x > 0$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Etapa 5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Etapa 5.2.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.2.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Etapa 5.3.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 5.3.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.4

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.4.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 5.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Etapa 5.4.3

O lado esquerdo $3.5849625$ é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.5

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 5.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Etapa 5.5.3

O lado esquerdo $5.90689059$ não é menor do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 4$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < 4$

Notação de intervalo:

$(0, 4)$

Etapa 8