Álgebra Exemplos

$\sec^{2} (x) - 6 \tan (x) = - 4$

Etapa 1

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 6 \tan (x) = - 4$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\tan^{2} (x) - 6 \tan (x) + 1 = - 4$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 6 u + 1 = - 4$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u^{2} - 6 u + 1 + 4 = 0$

Etapa 5

Some $1$ e $4$ .

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Etapa 6

Fatore $u^{2} - 6 u + 5$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 9

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 5) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 5, 1$

Etapa 11

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 5, 1$

Etapa 12

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = 5$

$\tan (x) = 1$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\tan (x) = 5$ .

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Etapa 13.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (5)$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

Avalie $\arctan (5)$ .

$x = 1.37340076$

Etapa 13.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Etapa 13.4

Resolva $x$ .

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Etapa 13.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.37340076$

Etapa 13.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Etapa 13.4.3

Some $3.14159265$ e $1.37340076$ .

$x = 4.51499342$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 13.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Resolva $x$ em $\tan (x) = 1$ .

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Etapa 14.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 14.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 14.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 14.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 14.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 14.4.2

Combine frações.

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Etapa 14.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 14.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 14.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 14.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 14.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 14.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Liste todas as soluções.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Consolide as soluções.

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Etapa 16.1

Consolide $1.37340076 + π n$ e $4.51499342 + π n$ em $1.37340076 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16.2

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$