Álgebra Exemplos

$4 x^{2} + 1 \geq 4 x$

Etapa 1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x^{2} + 1 - 4 x \geq 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{2} + 1 - 4 x = 0$

Etapa 3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.1

Reorganize os termos.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1 = 0$

Etapa 3.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

${(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2} = 0$

Etapa 3.4

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Etapa 3.5

Reescreva o polinômio.

${(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 3.6

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 {(0)}^{2} + 1 \geq 4 (0)$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$4 {(3)}^{2} + 1 \geq 4 (3)$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $37$ é maior do que o lado direito $12$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 7.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq \frac{1}{2}$ ou $x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 9

Combine os intervalos.

Todos os números reais

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Etapa 11