Álgebra Exemplos

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 2, - 3$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 9.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $192$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $32$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 0.0625$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $2.61224489$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 2$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < 2$

Notação de intervalo:

$(0, 2)$

Etapa 14