Álgebra Exemplos

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Etapa 1

Fatore o MDC de $x$ a partir de $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

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Etapa 1.1

Fatore o MDC de $x$ a partir de cada termo no polinômio.

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Etapa 1.1.1

Fatore o MDC de $x$ a partir da expressão $x^{3}$ .

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Etapa 1.1.2

Fatore o MDC de $x$ a partir da expressão $2 x^{2}$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Etapa 1.1.3

Fatore o MDC de $x$ a partir da expressão $x$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Etapa 1.2

Como todos os termos compartilham um fator comum de $x$ , ele pode ser fatorado fora de cada termo.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 2

Aplique a regra de Descartes na expressão interna $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 4

Como há $0$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $0$ raízes positivas (regra dos sinais de Descartes).

Raízes positivas: $0$

Etapa 5

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Etapa 6.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 7

Como há $2$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $2$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $2 - 2$ ).

Raízes negativas: $2$ ou $0$

Etapa 8

O número possível de raízes positivas é $0$ , e o número possível de raízes negativas é $2$ ou $0$ .

Raízes positivas: $0$

Raízes negativas: $2$ ou $0$