Álgebra Exemplos

$- 2 x^{2} - 25 x < 5 x + 108$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da desigualdade.

$- 2 x^{2} - 25 x - 5 x < 108$

Etapa 1.2

Subtraia $5 x$ de $- 25 x$ .

$- 2 x^{2} - 30 x < 108$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 2 x^{2} - 30 x = 108$

Etapa 3

Subtraia $108$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2} - 30 x - 108$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 2$ de $- 30 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 108 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 2$ de $- 108$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (15 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 (54)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x + 54) = 0$

Etapa 4.2

Fatore.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} + 15 x + 54$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $54$ e cuja soma é $15$ .

$6, 9$

Etapa 4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 ((x + 6) (x + 9)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 7

Defina $x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 9$ como igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - 6, - 9$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 6$

$x > - 6$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$- 2 {(- 12)}^{2} - 25 \cdot - 12 < 5 (- 12) + 108$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $12$ é menor do que o lado direito $48$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 9 < x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 9 < x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$- 2 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 < 5 (- 8) + 108$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $72$ não é menor do que o lado direito $68$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$- 2 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < 5 (0) + 108$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $108$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 9$ Verdadeiro

$- 9 < x < - 6$ Falso

$x > - 6$ Verdadeiro

$x < - 9$ Verdadeiro

$- 9 < x < - 6$ Falso

$x > - 6$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 9$ ou $x > - 6$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 9 or x > - 6$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 9) \cup (- 6, \infty)$

Etapa 13