Álgebra Exemplos

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.1

Some $8 x$ aos dois lados da desigualdade.

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

Etapa 1.2

Some $24 x$ e $8 x$ .

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

Etapa 3

Some $120$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 32 x + 120$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $2$ de $32 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $2$ de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (16 x)$ .

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

Etapa 4.2

Fatore.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} + 16 x + 60$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $60$ e cuja soma é $16$ .

$6, 10$

Etapa 4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 7

Defina $x + 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 10$ como igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x = - 10$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 6) (x + 10) = 0$ verdadeiro.

$x = - 6, - 10$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 24$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 10 < x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 10 < x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 64$ é menor do que o lado direito $- 56$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 120$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < - 6$ Verdadeiro

$x > - 6$ Falso

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < - 6$ Verdadeiro

$x > - 6$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 10 \leq x \leq - 6$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 10 \leq x \leq - 6$

Notação de intervalo:

$[- 10, - 6]$

Etapa 13